Platonin kappale

Platonin kappale on säännöllinen monitahokas, jonka tahkot ovat keskenään yhteneviä säännöllisiä monikulmioita ja jonka jokaisesta kärjestä lähtee yhtä monta särmää. Platonin monitahokkaita on viisi erilaista (kuvattu alla). Niiden nimet on johdettu niiden tahkojen lukumääriä kuvaavista kreikan kielen lukusanoista ja sanasta ἕδρα (≈ ”edri”), joka tarkoittaa muun muassa tahkoa.

Tetraedri	Heksaedri eli kuutio	Oktaedri	Dodekaedri	Ikosaedri
(animaatio)	(animaatio)	(animaatio)	(animaatio)	(animaatio)

Esteettisten ominaisuuksiensa ja symmetrisyytensä vuoksi säännölliset monitahokkaat ovat kiinnostaneet matemaatikkoja tuhansien vuosien ajan. Kreikkalainen filosofi Platon väitti dialogissaan Timaios klassisten alkuaineiden rakentuvan säännöllisistä monitahokkaista, ja niitä kutsutaan sen vuoksi hänen mukaansa Platonin kappaleiksi.

Historia

Keplerin säännöllisistä monitahokkaista muodostuva aurinkokuntamalli teoksesta Mysterium Cosmographicum (1596)

Viisi Platonin kappaletta tunnettiin jo muinaisina aikoina. Ei tiedetä, missä ne keksittiin ensimmäisenä, mutta antiikin kreikkalaiset epäilemättä tunsivat kaikki viisi kappaletta. On kuitenkin olemassa todisteita, että ne olisi tunnettu jo paljon ennen kreikkalaisten aikaa. Skotlannin neoliittisen kauden ihmiset tekivät kivimalleja kaikista viidestä kappaleesta ainakin tuhat vuotta ennen Platonin aikaa.

Mitä tulee kreikkalaiseen matematiikkaan, jotkin lähteet (kuten Proklos) antavat kunnian viiden säännöllisen monitahokkaan keksimisestä Pythagoraalle, kun taas osa todisteista viittaa siihen, että hän olisi tuntenut vain tetraedrin, kuution ja dodekaedrin, ja että oktaedrin ja ikosaedrin olisi keksinyt Platonin aikalainen Theaitetos. Joka tapauksessa Theaitetos kuvaili monitahokkaiden matemaattiset ominaisuudet ja oli ehkä myös ensimmäinen, joka todisti, ettei säännöllisiä monitahokkaita ole enempää kuin tunnetut viisi.

Säännölliset monitahokkaat ovat tärkeitä Platonin filosofiassa, minkä vuoksi niitä kutsutaan myös Platonin kappaleiksi. Platon kirjoitti niistä dialogissaan Timaios, jossa hän yhdisti jokaiseen klassiseen alkuaineeseen – maahan, ilmaan, tuleen ja veteen – säännöllisen monikulmion, niin että maata vastasi kuutio, ilmaa oktaedri, vettä ikosaedri ja tulta tetraedri. Nämä yhteydet hän perusteli sillä, että tuli tuntuu terävältä ja pistävältä (aivan kuin pieniltä tetraedreilta); ilman pienet oktaedriosaset taas ovat niin pyöreitä, että niitä tuskin tuntee; vesi, joka koostuu ikosaedreista, valuu pois kädestä aivan kuin se koostuisi pienen pienistä palloista ja kulmikas kuutio tekee maasta murenevan ja hajoavan verrattuna veteen. Viidettä Platonin monitahokasta, dodekaedria, Platon toteaa jumalan käyttäneen tähdistöjen luomisessa. Aristoteles laajensi alkuaineiden luetteloa eetterillä, josta hän oletti taivaiden koostuvan mutta jota hän ei ollut kiinnostunut yhdistämään dodekaedriin.

Eukleides kuvaa säännöllisten monikulmioiden matemaattiset ominaisuudet kirjassaan Alkeet, jonka kolmastoista ja viimeinen kirja on omistettu niiden ominaisuuksien tarkasteluun. Kirjan XIII propositiot 13–17 kuvaavat tetraedrin, oktaedrin, kuution, ikosaedrin ja dodekaedrin konstruktiot. Eukleides myös ratkaisee jokaisen monitahokkaan ympäripiirretyn ympyrän halkaisijan pituuden suhteen sen sivun pituuteen. Propositiossa 18 hän perustelee, ettei ole olemassa muita säännöllisiä monitahokkaita. Suuri osa kirjan XIII sisällöstä on todennäköisesti johdettu Theaitetoksen töistä.

1500-luvulla saksalainen astronomi Johannes Kepler yritti löytää yhteyden siihen aikaan tunnetun kuuden planeetan ja viiden säännöllisen monitahokkaan välille. Teoksessaan Mysterium Cosmographicum (1596) Kepler esitteli aurinkokunnan mallin, jossa viisi Platonin kappaletta on asetettu sisäkkäin siten, että sisemmän kappaleen ympäri piirretty pallokuori oli sama kuin seuraavan ulomman kappaleen sisään piirretty pallokuori. Sisäkkäisten pallokuorten säteet vastasivat planeettojen ratojen säteitä. Monitahokkaat oli järjestetty niin, että sisin oli oktaedri, sitten tulivat ikosaedri, dodekaedri, tetraedri ja uloimmaisena kuutio. Aurinkokunnan rakenteen ja planeettojen välisten etäisyyksien suhteet määrittivät säännölliset monitahokkaat. Kepler joutui lopulta hylkäämään mallinsa, mutta hänen tutkimuksensa poikivat Keplerin monitahokkaat, oivalluksen, etteivät planeettojen radat ole ympyränmuotoisia, sekä Keplerin lait.

Kombinatoriset ominaisuudet

Kupera monitahokas on säännöllinen, jos ja vain jos

1. kaikki sen tahkot ovat yhteneviä säännöllisiä monikulmioita, ja
2. jokaisesta kärjestä lähtee yhtä monta särmää.

Jokainen säännöllinen monitahokas voidaan täten kuvata merkinnällä {p, q}, jossa p on yksittäisen tahkon sivujen lukumäärä, ja q on yksittäisestä kärjestä kohtaavien tahkojen lukumäärä (tai kärjestä lähtevien särmien lukumäärä). Merkintää {p, q} kutsutaan Schläflin symboliksi, ja se kuvaa monitahokkaan kombinatoriset ominaisuudet.

Monitahokas		Tahkoja	Särmiä	Kärkiä	Schläflin symboli	Kärkien konfiguraatio
tetraedri		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
heksaedri		6	12	8	{4, 3}	4.4.4
oktaedri		8	12	6	{3, 4}	3.3.3.3
dodekaedri		12	30	20	{5, 3}	5.5.5
ikosaedri		20	30	12	{3, 5}	3.3.3.3.3

Kaikki monitahokasta koskeva kombinatorinen tieto, kuten tahkojen (T), särmien (S) ja kärkien (K) lukumäärä voidaan laskea luvuista p ja q. Koska kahden kärjen tai kahden tahkon välissä on aina yksi särmä, seuraavan yhtälön täytyy toteutua:

$pT=2S=qK.\,$

Eulerin monitahokaslause tarjoaa toisen yhtälön särmien, tahkojen ja kärkien lukumäärien välille:

$T-S+K=2.\,$

Tämän yleisen totuuden voi todistaa monin eri tavoin. (Algebrallisessa topologiassa se seuraa siitä, että pallon Eulerin karakteristika on 2.) Yhdessä nämä kaksi yhtälöä määräävät täysin T:n, S:n ja K:n:

$T={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}},\quad S={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad K={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}}.$

Huomaa, että jos p:n ja q:n arvot vaihdetaan keskenään, vaihtuvat myös T:n ja K:n arvot keskenään, mutta S pysyy samana (tämä voidaan tulkita geometrisesti; katso seuraava kappale).

Duaaliset monitahokkaat

Jos säännöllisen monitahokkaan vierekkäisten tahkojen keskipisteet yhdistää, syntyy kappaleen sisään säännöllinen monitahokas.

• tetraedrista syntyy tetraedri
• oktaedrista syntyy kuutio ja päinvastoin
• ikosaedrista syntyy dodekaedri ja päinvastoin

Jokaisella monitahokasparilla on keskenään yhtä monta särmää, mutta kärkien ja tahkojen määrät vaihtuvat ristiin.

Katso myös

• Arkhimedeen kappale

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

Aiheesta muualla

• Kivelä, Simo K.: M niinkuin matematiikka. Monitahokkaat
• Kauko, Virpi: Monitahokkaiden topologiaa – Matematiikkalehti Solmu 3/2002 (PDF)
• MathWorld. Regular Polyhedron (englanniksi)